La forme de la bulle

Partie 2 : La vie de la bulle

A/ Etude de la forme de la bulle

La sphéricité de la bulle

Plus l'aire du film liquide séparant l’intérieur et l’extérieur de la bulle de champagne est importante, plus son énergie potentielle, qui est l’énergie liée à une interaction, qui a le potentiel de se transformer en énergie cinétique, est élevée. En effet, l’énergie potentielle d’une surface d’aire A se calcule par la formule E=Aγ (où γ est un coefficient dépendant des deux interfaces séparées par la paroi de la bulle).

Ainsi, étant donné que tout système atteint un équilibre lorsque son énergie potentielle est minimale, on peut donc en déduire que la bulle de champagne prend la forme avec l’aire extérieure la plus basse pour un volume donné.

Nous nous proposons ainsi de démontrer que la sphère est la forme la plus appropriée pour la stabilité de la bulle. La preuve en dimension 3 étant particulièrement complexe, nous avons décidé de réduire notre travail à la dimension 2, en prouvant ainsi que le cercle est la figure plane ayant un périmètre minimal pour une aire donnée.

Cette proposition sera d’ailleurs démontrée par nécessité, c'est-à-dire que nous allons prouver que l’objet présente certaines propriétés qui vont nous permettre de déduire que la figure solution en dimension 2 est le cercle, et par conjecture que la figure solution en dimension 3 est la sphère.

Démonstration

Ici nous allons démontrer les conditions suivantes :

On peut partager le domaine de la figure en deux parties de même périmètre et d’aire identique

Si deux points A et B partagent l’aire en deux parties égales, pour tout troisième point C sur le bord, on a l'angle ACB égal à pi sur 2.

Théorème 1 : Si deux points A et B sont sur le bord de la courbe délimitant la figure solution et le partagent en deux parts égales alors le segment [A, B] ainsi créé partage l’aire en deux parties égales aussi

On traite dans ce cas le problème par l’absurde. On considère alors qu’il existe deux points A et B partageant le périmètre en deux dont le segment créé ne partage pas l’aire de la figure en deux parties égales.

Il s’ensuit de créer l’image de la partie d’aire la plus grande par la symétrie d’axe (AB). La figure réunissant la partie d’aire la plus grande et son image par la symétrie est de même périmètre, mais d’aire plus grande.

Il y a contradiction.

Tout couple de points A et B sur la courbe de la figure solution partageant son périmètre en deux parties égales inclut que le segment [AB] partage son aire en deux parties égales.

Théorème 2 : Si deux points A et B partagent l’aire ne deux parties égales, pour tout troisième point sur le bord on a l'angle ACB égal à pi sur 2.

On traite encore une fois ce problème par l’absurde. On considère A et B deux points de la courbe délimitant la figure solution qui partage le périmètre en deux parties égales. Par conséquent le segment [AB] partage aussi l’aire en deux parties égales.

On peut supposer que la figure est symétrique par rapport au point I milieu de [AB]. L’aire d’une partie ne pouvant être plus petite que l’autre, on procède en faisant l’image des deux parties de la figure par I. L’aire de la nouvelle figure réunissant la partie et son image par I est de même aire et de même périmètre que la figure considérée. On peut donc la prendre en compte comme étant aussi d’aire maximale.

On considère le point C de la courbe tel que l'angle ACB égal à pi sur 2. Soit le point D l’mage du point C par la symétrie de centre I. D se trouve ainsi par définition sur la figure.

Considérons les parties de la figure : P1, P2, P3, P4, et le quadrilatère ABCD. Ce dernier est donc in parallélogramme non rectangle et on a : AADBC < AD.BC

Considérons le rectangle A’D’B’C’ dont A’D’=AD et D’B’=DB. Ainsi AA’D’B’C’=AD’.BC.

Comme les côtés de ce nouveau quadrilatère sont de même mesure que l’initiale alors on peut y rattacher les autres parties P1, P2, P3 et P4. L’aire de cette nouvelle figure est donc plus grande que l’initiale car

AADBC < AA’D’B’C’.

D’où

AADBC + AP1 + AP2 + AP3 +AP4 < AA’D’B’C’ + AP1 + AP2 + AP3 + AP4

Il y a contradiction donc si deux points A et B partagent l’aire en deux parties égales, pour tout point C sur le bord on a l'angle ABC égal à pi sur 2.

Il suffit maintenant de ce théorème 3 de considérer deux points A et B. de ces deux points il faut considérer le lieu géométrique des points C vérifiant l'angle ACB égal à pi sur 2 . On en conclut donc que la figure solution est un cercle.

On en déduit donc par conjecture que la sphère est la forme la plus appropriée pour une bulle de champagne.

2. Le maintien de cette sphéricité

Pour former des bulles dans un liquide, il suffit de le brasser avec de l’eau. Cependant, les bulles formées ont une durée d’existence limitée. Il s’agit alors dans le champagne de faire vivre la bulle le plus longtemps possible. Cette cohésion est ainsi maintenue par des molécules dites tensioactives, qui sont produites lors de la fermentation du champagne par des levures.

Les molécules tensioactives sont composées de deux parties :

Une tête polaire soluble dans l'eau dite hydrophile. En effet, cette partie, constituée selon les espèces de tensioactifs d’atomes d’oxygène ou d’azote, crée des liaisons hydrogène avec les molécules d’eau du fait de leur électronégativité supérieure à celle de la molécule d’eau.
Une chaîne carbonée, de 10 à 20 atomes de carbone qui est repoussée par l’eau et attirée par les graisses et qui est qualifiée de lipophile ou d’hydrophobe. En effet, les alcanes tels que le pétrole, constitués de longues chaînes carbonées, sont non miscible avec l’eau, donc hydrophobe.

Ainsi ces molécules qui sont attirée par l’eau permettent de faire tenir la couche d’eau séparant l’intérieur de l’extérieur de la bulle. En effet, ces molécules, se répartissant de chaque côté de cette couche, la font réduire et donc permettent de diminuer la tension superficielle de la surface de la bulle. Cela entraîne alors une baisse de l’énergie potentielle et donc une meilleure stabilité de la bulle.

Nous savons qu'il est impossible de faire des bulles avec de l'eau pure, c'est pourquoi il est nécessaire d'ajouter du liquide vaisselle ou du savon. En effet, ces derniers, comportant des molécules tensioactives qui diminuent la tension superficielle du liquide, car, contrairement aux molécules d'eau, elles sont attirées par la surface et tentent de diminuer cette tension en créant une interface particulière entre l'eau et l'air : ces molécules bipolaires ont leurs extrémités chargées de manière opposée. De même, pour les bulles de champagne, les tensioactifs font baisser la tension superficielle pour la meilleure stabilité de la bulle.

On sait que l'eau est une molécule polaire. Dans un liquide aqueux, les tensio-actifs vont se placer à la surface. Une extrémité est repoussée par l'eau et attirée par l'air à la surface. Comme la tête polaire est attirée par l'eau et la queue par l'air, ces molécules sont appelées " surfactants " puisqu'elles se concentrent à la surface du liquide.

Cependant certaines molécules ne peuvent être à la surface par manque de place. Elles forment alors avec d'autres tensio-actifs des micelles (molécules se rejoignent par leur queue hydrophobe pour ne présenter que les têtes hydrophiles vers l'eau).

* Comment se disposent alors les molécules amphiphiles dans la bulle de champagne ?

Une bulle de champagne n'est rien d'autre qu'une fine membrane de entourant un certain volume d'air composé principalement de dioxyde de carbone. Elle se compose donc par une mince couche d'eau maintenue entre deux monocouches de tensioactifs, puisqu'on a vu précédemment que ces molécules étaient amphiphiles. En réalité, ces molécules sont près de 1000 fois plus petites que l'épaisseur de la paroi de la bulle (quelques nanomètres par rapport à quelques microns).

En effet, dans un film de bulle de champagne, il y a un film d'eau couvert de part et d'autre d'une couche simple de tensio-actifs. Cela se déduit du fait que les têtes hydrophiles des ces molécules soient dirigées vers l'eau alors que les queues hydrophobes sont orientées vers l'air.